MAYO

Derivación Implícita

Para la función , el esquema sería:

Por tanto:

Para la función , donde z es función implícita de las variables independientes x e y, el esquema sería:

Por tanto,

en donde se obtienen:

*  Teorema de existencia y unicidad:

Sea una ecuación de n+1 variables F(x,y,...,z) = 0 , esta ecuación define una función implícita z = f(x,y,...) en el entorno de un punto Po si:

a) F=0, es decir el punto Po satisface la ecuación.

b) Todas las derivadas parciales de F(x,y,...,z) :  , .... , son funciones continuas en el entorno del punto Po .

c)  . Es decir, la derivada de F respecto de z no se anula.

Derivada direccional

Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:

Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t

Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:

(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)

Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:

(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).

Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto

La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)

El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:

Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:

Multiplicadores de Lagrange

está vinculado a la resolución de problemas de optimizan de campos escalares sujetos a restricción de las variables. Tomaremos en particular, funciones reales de un vector de dos variables o campos escalares de dos variables, que están condicionados por una función de dos variables. 

 teorema en cuestión, bien conocido, trata de la maximización (o minimización) de una función de varias variables, , bajo restricciones de igualdad   Suponiendo que tanto la función objetivo como las restricciones son continuamente diferenciables en un óptimo local  del problema y que la matriz jacobiana  tiene rango , el teorema establece la existencia de , llamadosmultiplicadores de Lagrange, tales que

(1)

siendo  la denominada función lagrangiana, definida por

(2)

La demostración más habitual de este resultado se basa en el teorema de la función implícita.

Obsérvese que (1) puede escribirse, equivalentemente,

                                                                                                                                         

(3)

el símbolo  denota aquí gradiente.

INTEGRALES MÚLTIPLES

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS.

Suponga que f(x, y) está definida sobre una región rectangular R dada por

R: a<x<b, c<y<d.

Imaginamos R cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x y y. Esas rectas dividen R en pequeños elementos de área "A1, "A2…, "An, escogemos un punto (xk, yp) en cada elemento "Ak y formamos la suma

Si f es continua en toda la legión R, entonces al refinar el ancho de la red para hacer tender "x, "y a cero, las sumas en (1) tienden a un límite llamado integral doble de f sobre R. Su notación es

Entonces,

INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES.

Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) "Ak en la suma Sn = 
"Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como