FEBRERO

Vectores 

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Magnitudes Escalares

Propiedades

Conmutativa: a+b=b+a

Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)

Elemento Neutro: a+0=a

Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0

Vectores unitarios 

Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:

r = rxi + ryj + rzk
v = vxi + vyj + vzk

el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:

r · v = rx· vx + ry · vy+ rz · vz

Planos en el espacio

Recta

Ecuaciones paramétricas de la recta
Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:
Ecuaciones continuas de la recta
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:
Ecuaciones implícitas de la recta
Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.
Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.
Para que el punto P pertenezca al plano π el vector  tiene que ser coplanario con  y .
Plano
Ecuaciones paramétricas del plano
Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Sustituimos:
Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

Obtenemos la ecuación general de plano:

Ecuación canónica o segmentaria del plano
Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación 

canónica viene dada por:

Limites y Continuidad

Una función vectorial es una aplicación  tal que a cada vector  le hace corresponder  Denotamos

donde  que denominamos componentes o proyecciones de , con lo cual .

Ejemplo 5.14.: sea  esta función sería un ejemplo de una función vectorial, a cada vector de  le hace corresponder un vector de , y las componentes son:

, , , 

Definición 5.18.: sea . Sea  un punto de acumulación de  y sea . Se dice que  si

Observación 5.6.: análogamente a los casos anteriores se verifica, el teorema de unicidad de límites. Sin embargo no se puede hablar de producto, cociente y potencias en , por tanto, los resultados del algebra de límites sólo se verifican para la suma.

Proposición 5.3.: Sea  con  y sea , son equivalentes

1. 
2. 

Proposición 5.4.: Sea  con ,  es continua en  es continua en .

Observación 5.7.: Por lo tanto estudiar los límites y continuidad de una función vectorial no es más difícil que estudiar los límites y continuidad de una función escalar, solamente será más largo, puesto que será suficiente con estudiar las  funciones escalares componentes.